電子天平該如何選擇合適的砝碼

時間：2013/5/30閱讀：2060

電子天平該如何選擇合適的砝碼

[砝碼稱重問題]給定架天平，要求用m個砝碼稱出1~n克范圍內(nèi)的所有物品的重量，問應(yīng)該如何選擇砝碼

定理：由m個數(shù)構(gòu)成的由小到排列的數(shù)列{a（1）,a（2）,...a（m）}，設(shè)A（k）=∑

a（i），其中i從1到k，則

a（1） = 1且a（j+1） <= 2A（j） +1， j取1,2,..,m-1 （1式）

是該數(shù)列作為砝碼序列可稱量{0,1,..,Am}范圍內(nèi)的任意整數(shù)重量的充要條件。特

別的，上式取等號時，

該序列是*可能的砝碼序列，并且有a（j） = 3^（j-1），對于j=1,2,..,m

推論：重量為n的物體要分成m份重量為整數(shù)的物體的序列{a（1）,a（2）,..a（m）}，

設(shè)M=∑3^（i-1），其中i

從1到m，則有三種情況：

1） M<n，無解；

2） M=n，有*的解 a（j）=3^（j-1）, j=1,2,..m;

3） M>n，可能有多組解，解為滿足（1式）并且∑a（i）=n,其中i從1到m，的所有整

數(shù)序列。

砝碼定理的證明：

（充分性）

用數(shù)歸法：

當i=1的時候，a（i）=1顯然成立；

假設(shè)i=k的時候定理充分性成立，即用滿足（1）式的前k個砝碼可以稱量的重量

W（k）為滿足0<=W（k）<=A（k）

的所有整數(shù)，則i=k+1時，應(yīng)可以稱量W（k+1）,應(yīng)為0<=W（k+1）<=A（k+1）范圍內(nèi)的所

有整數(shù)。分段討論如下：

（a）對于0<=W（k+1）<=A（k），顯然可以由前k個砝碼稱量；

（b）對于A（k）<W（k+1）<=a（k+1），由假設(shè)0<=W（k）<=A（k），交換左右盤的砝碼，可

以產(chǎn)生配合砝碼a（k+1）

使用的負砝碼為W（k）' 可以是滿足-A（k）<=W（k）'<=0的所有整數(shù)。與砝碼a（k+1）

起使用可以得到a

（k+1）+W（k）' ，定可以稱量某段連續(xù)范圍的所有整數(shù)，因為a（k+1） <=2A（k）+1，

所以a（k+1）-A（k） <=

A（k）+1，因此a（k+1）+W（k）'產(chǎn)生的下限為a（k+1）-A（k），上限為a（k+1）,所以可以

稱量A（k）<W（k+1）<=a

（k+1）內(nèi)的所有W（k+1）；

（c）對于a（k+1）<=W（k+1）<=A（k+1），與（b）同理可以得到稱量的上下限分別為：

a（k+1）+A（k） = A（k+1）和a

（k+1）；

因此當i=k+1的時候定理充分性也成立，由數(shù)歸法知定理充分性成立。

（必要性）

i=1時，顯然必須有總量為1的砝碼；

i>1時，反證之，如果存在某個K，使得（1）不成立，即2A（k）+1<a（k+1），則重量

A（k）+1既不能用前面的

k-1個砝碼稱重，又因為a（k+1）-A（k）>A（k）+1而不能用a（k+1）配合著稱重。所以矛

盾，因此必要性成立。

推論也可以用數(shù)歸法簡單的證明，這里我就不證了，打字太累了：）

根據(jù)以上的定理和推論，可以很容易的求出對于重量為任意的n的物體，用m個砝碼

可以稱出來的砝碼的方

案。當n=∑3^（i-1）， i從1到m的時候，有*解a（i）=3^（i-1），可以改寫成

a（i）=2（∑aj）+1，其中j從1

到i-1，個循環(huán)就直接輸出了；當n>∑3^（i-1）的時候無解；當n<∑3^（i-1）的時

候只要根據(jù)式（1）并保

證∑a（i）=n搜索就可以了。可以遞歸的搜索求解。具體我就不寫程序了。

終于寫完了，好累呀~~

———————————————

———砝碼質(zhì)量等級表

標稱值	E2等	F1等	F2等	M1等
20kg	30	100	300	1000
10kg	16	50	160	500
5kg	8.0	25	80	250
2kg	3.0	10	30	100
1kg	1.6	5	16	50
500g	0.8	2.5	8	25
200g	0.3	1	3.0	10
100g	0.16	0.5	1.6	5
50g	0.10	0.30	1.0	3.0
20g	0.08	0.25	0.8	2.5
10g	0.06	0.20	0.6	2
5g	0.05	0.16	0.5	1.6
2g	0.04	0.12	0.4	1.2
1g	0.03	0.10	0.3	1.0
500mg	0.025	0.08	0.25	0.8
200mg	0.020	0.06	0.20	0.6
100mg	0.016	0.05	0.16	0.5
50mg	0.012	0.04	0.12	0.4
20mg	0.010	0.03	0.10	0.3
10mg	0.008	0.025	0.08	0.25
5mg	0.006	0.020	0.06	0.20
1mg 2mg	0.006	0.020	0.06	0.20

————————————————詳細參數(shù)請查看：http://www.21fama.com/

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